וקטור מאונך למישור ונפח פירמידה – בגרות קיץ 2023 מועד א׳וקטורים 472 · שיעור 20
📄 נוסח השאלה
בפירמידה המשולשת ABCD המקצועות AD, BD ו־CD מאונכים זה לזה (ראו סרטוט). הנקודה E נמצאת על המישור ABC, ומתקיים: BE = 19BA + 49BC.
נסמן: DA = u , DB = v , DC = w.
א. הביעו את הווקטורים BA , BC , DE באמצעות u , v ו־w. (פתרנו בשיעור 6)
נתון: |u| = 2 , |v| = |w| = 1.
📄 נוסח השאלה · המשך
ב. (1) חשבו את אורכי המקצועות BA ו־BC. (2) חשבו את גודל הזווית ABC. (3) חשבו את שטח המשולש ABC. (פתרנו בשיעור 15)
ג. הוכיחו כי הווקטור DE מאונך למישור ABC.
ד. חשבו את נפח הפירמידה ABCD.
סעיף ג – DE מאונך למישור ABC
📌 תזכורת מהסעיפים הקודמים (שיעור 6 , שיעור 15):
סעיף א – הבעת הווקטורים: BA = u − v
BC = w − v
DE = 19u + 49v + 49w
סעיף ב (1) – אורכי BA ו־ BC: BA = √5 , BC = √2
סעיף ב (2) – הזווית ABC: ∡ABC ≈ 71.57 מעלות
סעיף ב (3) – שטח המשולש ABC: S = 1.5 יחידות שטח
סעיף א – הבעת הווקטורים: BA = u − v
BC = w − v
DE = 19u + 49v + 49w
סעיף ב (1) – אורכי BA ו־ BC: BA = √5 , BC = √2
סעיף ב (2) – הזווית ABC: ∡ABC ≈ 71.57 מעלות
סעיף ב (3) – שטח המשולש ABC: S = 1.5 יחידות שטח
מספיק להראות ש־DE מאונך לשני וקטורים לא מקבילים במישור, למשל BA ו־BC.
📐 ישר מאונך למישור
נציב DE = 19u + 49v + 49w , BA = u − v , BC = w − v (סעיף א):
DE · BA = (19u + 49v + 49w) · (u − v)
📐 ישר מאונך למישור
ישר המאונך לשני ישרים נחתכים במישור – מאונך למישור
סעיף ג – DE מאונך למישור ABC · המשך
DE · BA = (19u + 49v + 49w) · (u − v)
פותחים סוגריים. המכפלות המעורבות, כמו u · v , שוות 0 כי הווקטורים מאונכים, ונשארים:
DE · BA = 19u2 − 49v2
📐 וקטורים מאונכים
נציב u2 = |u|2 = 4 , v2 = |v|2 = 1:
DE · BA = 19 · 4 − 49 · 1 = 0
DE · BC = (19u + 49v + 49w) · (w − v)
📐 וקטורים מאונכים
a ⊥ b ⟺ a · b = 0
סעיף ג – DE מאונך למישור ABC · המשך
DE · BC = (19u + 49v + 49w) · (w − v)
DE · BC = 49w2 − 49v2
נציב w2 = v2 = 1:
DE · BC = 49 · 1 − 49 · 1 = 0
(כל המכפלות המעורבות, כמו u·w, שוות 0.) שתי המכפלות שוות 0 – DE מאונך למישור ABC. ✓
✅ פתרון סופי: הוכח: DE ⊥ ABC
סעיף ד – נפח הפירמידה
נבחר את המשולש BCD כבסיס: הוא ישר זווית ב־D, עם ניצבים DB = DC = 1. המקצוע AD מאונך ל־DB ול־DC, ולכן הוא הגובה לבסיס זה.
SBCD = DB · DC2
📐 שטח משולש ישר זווית
נציב DB = DC = 1:
SBCD = 1 · 12 = 12
V = SBCD · AD3
📐 נפח פירמידה
נציב SBCD = 12 , AD = |u| = 2:
📐 שטח משולש ישר זווית
S = ניצב · ניצב2
📐 נפח פירמידה
V = Sבסיס · h3
סעיף ד – נפח הפירמידה · המשך
נציב SBCD = 12 , AD = |u| = 2:
V = 12 · 23 = 13
בדיקה: דרך הבסיס ABC והגובה DE: |DE|2 = 181 · 4 + 1681 + 1681 = 3681 , |DE| = 23, V = 1.5 · 233 = 13 ✓
✅ פתרון סופי: V = 13 ≈ 0.333 יחידות נפח
📌 סיכום התשובות
סעיף ג
הוכחה
סעיף ד
13
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא